如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE//DB.且△ABC边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成的正弦值为4分之根号6.（1）在线段DC上是否存在一点F,使得EF垂直平面D

题目

如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE//DB.且△ABC边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成的正弦值为4分之根号6.（1）在线段DC上是否存在一点F,使得EF垂直平面DBC?如存在?求线段DF的长度,若不存在,说明理由.（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值.

答案

（Ⅰ）F为CD中点 连接BF,于是CE=ED=√5,CD=2√2, 所以EF=√3,BF=√2,BE=√5 所以BF⊥EF, 又EF⊥CD,又BF,CD为两条相交直线 故EF⊥平面BCD 因为C到平面ABDE的距离是√3 CD与平面ABDE所成的正弦值为√6/4 所以CD=√3/(√6/4)=2√2 所以DF=√2 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知BF⊥CD,BF⊥EF,所以BF⊥面CDE 又过F作FG⊥CE,交CE于点G,连接BG 因此∠BGF为二面角D-EC-B的平面角 tan∠BGF=BF/FG, 而FG=EFCF/CE=√3×√2/√5=√30/5 所以tan∠BGF=√2/(√30/5)=√15/3