求教一道微积分导数题目

题目

求教一道微积分导数题目
f(x)和g(x)在R上都有定义,且1.f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) 2.f(0)=0,g(0)=1,f(x）在0处的导数为1,g(x) 在0处的导数为0.
求证f(x)一切x可导,并求其导数

答案

因为f(0)=0,f(x）在0处的导数为1,
所以 当△x无限趋近于0时 [f(0+△x)-f(0)]/△x=f(△x)/△x的极限等于1
因为 g(0)=1,g(x) 在0处的导数为0.
所以 当△x无限趋近于0时g(0+△x)-g(0)=g(△x)-1的极限等于0,g(△x)的极限等于1
任取实数x,当△x无限趋近于0时,
△y/△x=[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)g(△x)+f(△x)g(x)-f(x)]/△x={f(x)[g(△x)-1]+f(△x)g(x)}/△x
无限趋近于g(x）f(△x)/△x无限趋近于g(x)
即当△x无限趋近于0时,△y/△x的极限等于g(x),所以
f(x)对一切x可导,且导数为g(x)
快30年了,还有点印象