已知圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称． （I）求m的值； （Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，OA•OB=-3（O为坐标原点），求圆C的方程．

题目

已知圆C：x²+y²+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称．
（I）求m的值；
（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，

OA

•

OB

=-3（O为坐标原点），求圆C的方程．

答案

（I）x2+y2+2x+a=0⇒（x+1）2+y2=1-a，圆心（-1，0）．∵圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称，∴直线过圆心，∴-m+0+1=0⇒m=1，故m的值为1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）OA•OB=x1x2+y1y2=2x1...

（I）根据圆的对称性判定直线过圆心，先求圆心坐标，再代入直线方程求解；（II）设A、B的坐标，根据向量坐标运算与韦达定理根与系数的关系求解即可．

本题考点：平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．

考点点评：本题主要考查直线与圆相交的性质及向量坐标运算．巧妙的利用韦达定理根与系数的关系设而不求是求解本题的关键．