已知A为奇数阶矩阵,行列式大于0,A×(A的转置)等于单位矩阵,证明单位矩阵减去A不可逆

题目

已知A为奇数阶矩阵,行列式大于0,A×(A的转置)等于单位矩阵,证明单位矩阵减去A不可逆

答案

|E-A|
= |AA^T-A|
= |A(A^T-E)|
= |A||A^T-E|
= |A||A-E|
= (-1)^n|A||E-A|
= -|A||E-A|
因为 |A|>0
所以 |E-A|=0.