已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH//EG//AC,FH、EC分别交边BC所在的直线于点H,G

题目

已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH//EG//AC,FH、EC分别交边BC所在的直线于点H,G
1 如果点E.F在边AB上,那么EG+FH=AC,请证明这个结论
2 如果点E在AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG,FH,AC的长度关系是什么?
3 如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG,FH,AC的长度关系是什么?
4 请你就2,3的结论,选择一种情况给予证明

答案

第一问
过点E做EN//BC 交AC于N
角FBH=角AEN BF=AE 角BFH=角EAN(因为FH//AC)
三角形BFH全等于三角形EAN
故 FH=AN
又因为EG=CN (EGCN为平行四边形）CN+NA=AC
故EG+FH=AC
第二问
关系仍为EG+FH=AC
做法同上
第三问
EG=FH+AC
过点A做AM//BC 交EG于点M
角FBH=角ABC=角EAM BF=AE 角BFH=角AEM(因为FH//EG)
三角形BFH全等于三角形AEM
FH=EM
又因为MG=AC (ACGM为平行四边形）EM+MG=EG
故EG=FH+AC