若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.

题目

若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.

答案

设A的行向量为a1,a2,a3,...,am
C的行向量为c1,c2,c3,..,cm
由于C是基础解系,而A是方程组的解,所以向量组{a1,...,am}可由向量组{c1,c2,...,cm}表出,一个具体的说,就是存在系数k(i,j)使得
a1 = k(1,1)* c1 + k(1,2) * c2 + ...+ k(1,m) * cm
...
am = k(m,1) * c1 + k(m,2) * c2 + ...+ k(m,m) * cm
令m阶矩阵B = (k(i,j)),就满足A = BC.
A 和C的地位是对称的,同理也存在m阶矩阵D 使得C = DA
所以A = BC = (BD) A
由于A是基础解系,行向量线性无关,所以只能有BD = I（即单位阵）
这就说明了B是可逆的.