高二空间几何一题在线求解

题目

高二空间几何一题在线求解
正四棱锥P-ABCD中
E、F、G分别在棱PB、PC、PD上
且有PE:EB=PG:GD=2:1 PF:FC=1:2
求证PA∥面EFG
谢谢

答案

作PC中点H,连接BH、DH、BD、AC,BD与AC交于点O,连接OH
∵H、O都是中点
∴HO∥PA
又 面PAC∩面BHD=OH,PA在面PAC上
∴PA∥面BHD
∵H是PC中点
∴PH=1/2PC
∵ PF:FC=1:2
∴PF=1/3PC
∴PF=2/3PH
又 PE:EB=2:1 即PE=2/3PB
∴EF∥BH
同理 FG∥HD
又EF与FG在面EFG上, BH与HD在面BHD上,EF与FG交与点F, BH与HD交与点H
∴面EFG∥面BHD
又 PA不在面EFG、面BHD上
∴PA∥面EFG