已知{an}的通项为-2n+21,首项为19,公差为-2,求设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn

题目

已知{an}的通项为-2n+21,首项为19,公差为-2,求设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn

答案

an=-2n+21
{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列
所以bn-an=1*3^(n-1)=3^(n-1)
所以bn=an+3^(n-1)=-2n+21+3^(n-1)
数列{an}的前n项之和为An=n(a1+an)/2=n(20-n)（等差数列求和公式）
数列{bn-an}的前n项之和为Bn=1*(1-3^n)/(1-3)=(3^n-1)/2（等比数列求和公式）
又Bn=(b1-a1)+(b2-a2)+...+(bn-an)=(b1+b2+...+bn)-(a1+a2+...+an)
=Sn-An
所以Sn=An+Bn=n(20-n)+(3^n-1)/2