已知a,b,c为实数,且满足下式:a2+b2+c2=1,①,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3;②求a+b+c的值.
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已知a,b,c为实数,且满足下式:a2+b2+c2=1,①,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3;②求a+b+c的值.
题目
已知a,b,c为实数,且满足下式:a
2
+b
2
+c
2
=1,①,
a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
答案
将①式变形如下,
a(
1
b
+
1
c
)+1+b(
1
c
+
1
a
)+1+c(
1
a
+
1
b
)+1=0,
即a(
1
a
+
1
b
+
1
c
)+b(
1
a
+
1
b
+
1
c
)+c(
1
a
+
1
b
+
1
c
)=0,
∴(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)=0,
∴(a+b+c)•
bc+ac+ab
abc
=0,
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0,则
(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2(bc+ac+ab)=a
2
+b
2
+c
2
=1,
∴a+b+c=±1.
∴a+b+c的值为0,1,-1.
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