已知△ABC面积为2根号3,且向量(AB-AC)×(AB+AC)=63.向量AB×AC=4,求△ABC的内角A的大小及其对对边的长

题目

已知△ABC面积为2根号3,且向量(AB-AC)×(AB+AC)=63.向量AB×AC=4,求△ABC的内角A的大小及其对对边的长

答案

∵△ABC的面积＝（1/2）｜AB｜·｜AC｜sinA＝2√3,
又向量AB·向量AC＝｜AB｜·｜AC｜cosA＝4,
∴上述两式相除,得：（1/2）tanA＝3/2,∴tanA＝√3,∴A＝60°.
由｜AB｜·｜AC｜cosA＝4、A＝60°,得：｜AB｜·｜AC｜＝8,
∴｜AB｜^2·（－｜AC｜^2）＝－64.
而（向量AB＋向量AC）·（向量AB－向量AC）＝63,∴｜AB｜^2－｜AC｜^2＝63.
∴由韦达定理可知：｜AB｜^2、－｜AC｜^2 是方程 x^2－63x－64＝0的根.
由 x^2－63x－64＝0,得（x－64）（x＋1）＝0,∴x1＝64、x2＝－1.
∴｜AB｜^2＝64、　－｜AC｜^2＝－1,　∴｜AB｜＝8、　｜AC｜＝1.
由余弦定理,有：
｜BC｜^2＝｜AB｜^2＋｜AC｜^2－2｜AB｜·｜AC｜cosA＝64＋1－2×8×1×（1/2）＝57.
∴｜BC｜＝√57.
∴△ABC的内角A为60°,BC边的长为√57.
注：请你以后注意向量点积与叉积的表达方式.　向量a·向量b为点积,向量a×向量b为叉积.