若方程x3-3x+m=0在[0,2]上有解,则实数m的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0] D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
题目
若方程x3-3x+m=0在[0,2]上有解,则实数m的取值范围是( )
A. [-2,2]
B. [0,2]
C. [-2,0]
D. (-∞,-2)∪(2,+∞)
答案
由题意方程x3-3x+m=0在[0,2]上有解,则-m=x3-3x,x∈[0,2]
求函数的值域即得实数m的取值范围
令y=x3-3x,x∈[0,2]
y'=3x2-3
令y'>0,解得x>1,故此函数在[0,1]上减,在[1,2]上增,
又x=1,y=-2;x=2,y=2;x=0,y=0
∴函数y=x3-3x,x∈[0,2]的值域是[-2,2]
故-m∈[-2,2],
∴m∈[-2,2],
故选A
因为是方程有解,转化为函数在[0,2]的函数值,利用导数求解即可.
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本题考查学生对一元三次方程的图象的认识,以及对函数值正负与图象关系的利用
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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