求方程x^2y^2+yx^3=1确定的隐函数y=y(x),求出它的导数和所有的极限值.

题目

求方程x^2y^2+yx^3=1确定的隐函数y=y(x),求出它的导数和所有的极限值.

答案

这题显然可以不用隐函数做.

x²y² + x³y - 1 =0

y = [-x³ ± √(x^6 + x²)]/(2x²) = -x/2 ± [√(x² + 1/x²)]/2

其余见图.

(1)取+号

y = -x/2 + [√(x² + 1/x²)]/2

y' = -1/2 + （1/2)(1/2)(2x - 2/x³)/√(x² + 1/x²) = (1/2)[x - 1/x³-√(x² + 1/x²)/[√(x² + 1/x²) = 0

x - 1/x³ = √(x² + 1/x²)

3x^4 = 1

x = ± 1/3^(1/4)

由图,这里取x = -1/3^(1/4) (不知道是不是有更简单的办法来判定)

y = 3/[2*3^(1/4)]  (极小值)

(2) 取-号

情况与(1)类似,x = ± 1/3^(1/4)

但这里取 x = 1/3^(1/4)

y = -3/[2*3^(1/4)]  (极大值)