如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．求证：MN=AM+BN．

题目

如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．求证：MN=AM+BN．

答案

证明：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∠C=90°，
∴∠NBC+∠NCB=90°，∠MAC+MCA=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠ACM=∠CBN，∠NCB=∠MAC，
在△ENC和△CMA中，

∠CBN＝∠ACM AC＝BC ∠NCB＝∠MAC

，
∴△BNC≌△CMA（ASA），
∴AM=NC，BN=MC，
∴MN=AM+BN．

首先根据题干条件求出∠ACM=∠CBN，∠NCB=∠MAC，结合AC=BC，证明△BNC≌△CMA，于是得到AM=NC，BN=MC，即可证明出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是证明出△ENC≌△CMA，此题难度不大．