已知 a、 b、 c 为实数.函数 y1= ax2+ bx + c , y2 = ax + b ( a > 0) ,当 - 1 ≤x≤ 1时 ,有 - 1≤y1 ≤ 1 , y2 有最大值2. 试求

题目

已知 a、 b、 c 为实数.函数 y1= ax2+ bx + c , y2 = ax + b ( a > 0) ,当 - 1 ≤x≤ 1时 ,有 - 1≤y1 ≤ 1 , y2 有最大值2. 试求由抛物线 y1 = ax2+ bx + c 与直线
y2 = ax + b所围成的封闭图形及其内部的所有格点(横坐标、纵坐标均为整数的点)顺次连结所得图形的面积.

答案

a>0,y2=ax+b是增加函数,所以当x=1时,y2取到[-1,1]上的最大值,
即 a+b=2.b=2-a.
当x属于[-1,1]时,-1≤y1≤1
①
x=1时,y1=a+b+c,-1≤a+b+c≤1,-3≤c≤-1,
另外当x=0时,ax^2+bx+c=c,所以 -1≤c≤1,c=-1.
②
x=-1时,-1≤a-b+c≤1,0≤a-b≤2,b≤a≤b+2,b/[2a]≤1/2,
b/[2a]≥-1/2.所以-b/[2a]在区间[-1,1]里,因此
③
x=-b/[2a]时,-1≤y1≤1,-1≤(4ac-b^2)/[4a]≤1
-4a