在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上
题目
在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上
如图在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动同时动点N从点A出发沿AB向终点B以每秒3分之5个单位的速度运动当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动设动点M、N运动的时间为t秒t >0.1当t=3时直接写出点N的坐标并求出经过O、A、 N三点的抛物线的解析式2在此运动的过程中△MNA的面积是否存在最大值若存在请求出最大值若不存在请说明理由 3当t为何值时△MNA是一个等腰三角形.
答案
(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;
当t=3时,AN= t=5= AB,∴N(3,4).
设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则即N是线段AB的中点
∴N(3,4).
4=3a(3﹣6),a=-4/9
∴抛物线的解析式:y=-4/9x(x﹣6)=-4/9x²+ 8/3x
(2)过点N作NC⊥OA于C;
由题意,AN= t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NAsin∠BAO=5/3 t ·4/5= 4/3t;
则:S△MNA= 1/2·AM·NC= 1/2×(6﹣t)×4/3 t=﹣2/3(t﹣3﹚²+6.
∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.
(3)Rt△NCA中,AN= 5/3t,NC=AN·sin∠BAO=4/3 t,AC=AN·cos∠BAO=t;
∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t,4/3t).
∴NM=√﹙6-t-t﹚²+﹙4/3t﹚²=√52/9t²-24t+36
又:AM=6﹣t,AN= 5/3t(0<t<6);
①当MN=AN时,√52/9t²-24t+36
=5/3 t,即:t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去);
②当MN=MA时,√52/9t²-24t+36
=6﹣t,即:t²﹣12t=0,t1=0(舍去),t2=108/43 ;
③当AM=AN时,6﹣t= 5/3t,即t=9/4 ;
综上,当t的值取 2或 9/4或 108/43时,△MAN是等腰三角形
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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