已知实数a>b>c,a+b+c=1,a²+b²+c²=1求a+b与a²+b²的范围

题目

已知实数a>b>c,a+b+c=1,a²+b²+c²=1求a+b与a²+b²的范围

答案

已知可得a+b=1-c,所以(a+b)²=(1-c)²,即a² + 2ab +b²=(1-c)²,（1） 又a²+b²+c²=1,即a²+b²=1-c² (2) 由(1)、（2）两式,联立可得ab=[(1-c)²-(a²+b²)]/2=[(1-c)²-(1-c²)]/2=c²-c 即 a+b=c²-c （3） 又a+b=1-c （4） 若把a、b看作是关于一个x的一元二次方程的两不等实根,即由（3）、（4）可得 f(x)=(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab=x²-(1-c)x+(c²-c)=0 即a、b是关于x的一元二次方程：x²-(1-c)x+(c²-c)=0的两不等实根, 则有：⊿=[-(1-c)]²-4(c²-c)>0；有两不等实根, x=(1-c)/2>c 对称轴位于两根之间,x=(1-c)/2>b>c f(c)>0； 因为f(x)在,x∈(-∞,(1-c)/2)上单调递减,c<b,f(c)>f(b)=0 由已上三式联立求解,则可得证：（-1/3）<c<0 【另法】 a,b是方程x^2+(c-1)x+c^2-c=0的两不等实数根. 故其判别式大于零,即(c-1)^2-4(c^2-c)>0,解之得-1/3<c<1. 由a+b+c=1得(a+b+c)^2=1, 即a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1,故ab+ac+bc=0. 若c>0,则a>b>c>0,那么ab+ac+bc>0与之矛盾,故c<0. 综上所述,-1/3<c<0.