已知α,β是锐角,α+β≠π/2,且满足tanβ=sin2α/3-cos2α (1)证明:tan(α+β)=2tanα

已知α,β是锐角,α+β≠π/2,且满足tanβ=sin2α/3-cos2α (1)证明:tan(α+β)=2tanα

题目
已知α,β是锐角,α+β≠π/2,且满足tanβ=sin2α/3-cos2α (1)证明:tan(α+β)=2tanα
(2)求tanβ的最大值
答案
由已知tanβ=sin2α/(3-cos2α)
=2sinαcosα/(2+2sin²α)
=tanα/(1/cos²α+tan²α)
=tanα/(1+2tan²α)
(1)tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=[tanα+tanα/(1+2tan²α)]/[1-tanα*tanα/(1+2tan²α)]
=tanα*(2tan²α+2)/[1+2tan²α-tan²α]
=2tanα*(tan²α+1)/(1+tan²α)
=2tanα
得证
(2)因为α,β是锐角
所以tanβ>0 tanα>0
则tanβ=tanα/(1+2tan²α)
≤tanα/[2√(1*2tan²α)]
=tanα/[2√2*tanα]
=1/(2√2)
=√2/4
即tanβ的最大值为√2/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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