x2+y2/2=1,求x-√1+y2最大值

题目

x2+y2/2=1,求x-√1+y2最大值

答案

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x2+y2/2=1,求x√1+y2最大值
x²+y²/2=1
2x²+y²=2
2x²+y²+1=3
即2x²与(1+y²)的和为定值
[x*√(1+y²)]²
=x²*(1+y²)
=(1/2)*2x²*(1+y²)
≤(1/2)*[2x²+(1+y²)]²/4
=(1/8)*9
=9/8
∴x*√(1+y²)≤√(9/8)=(3√2)/4
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基本不等式：ab≤(a+b)²/4,当a=b时取等号
方法2.
(1)因为x2+y2/2=1,所以y2=2-2x2.（x2≤1,即-1≤x≤1）
当-1≤x≤0时
x√(1+y2)=-√[x2(1+y2)]
=-√[x2(1+2-2x2)]
=-√(-2x4+3x2)
=-√(-2x4+3x2-9/8+9/8)
=-√[-2(x2-3/4)2+9/8]
≥-√(9/8) （当x2=3/4（3/4≤1,符合条件）时,取到等号.）
=-3√2/4
当x=0时x√(1+y2)=0 当x=1时x√(1+y2)=-1
当0≤x≤1时
x√(1+y2)=√[x2(1+y2)]
=√[x2(1+2-2x2)]
=√(-2x4+3x2)
=√(-2x4+3x2-9/8+9/8)
=√[-2(x2-3/4)2+9/8]
≤√(9/8) （当x2=3/4（3/4≤1,符合条件）时,取到等号.）
=3√2/4
综上所述,得：X√1+Y2的最大值为3√2/4