已知点(1,1/3)是函数f(x)=a^x(a>0且a≠1)的图像上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}
题目
已知点(1,1/3)是函数f(x)=a^x(a>0且a≠1)的图像上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}
已知点(1,1/3)是函数f(x)=a^x图象上一点,等比数列an的前n项和为f(x)-c,数列bn的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-S(n-1)=√Sn √S(n-1)求:①数列an和bn的通项公式;
②若数列{1/bn*b(n 1)}的前n项和为Tn,问Tn
由题意得
1)a=1/3,an=fn-c-(f(n-1)-c)=fn-f(n-1)=-2/3*(1/3)
^(n-1)
∴an的前n项和为(1/3)^n -1
∴c=1
又∵Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1)
∴√Sn-√Sn-1=1
∴√Sn=n,Sn=n^2
∴bn=Sn-Sn-1=2n-1
2)bn代入得1/bnbn+1=1/(2n-1)(2n+1)=1/2(1/2n-1-1/2n+1)
∴Tn=1/2(1-1/2n+1)=n/2n+1>1000/2009
解得n>1000/9
∴n的最小值为112.
∴√Sn-√Sn-1=1
∴√Sn=n,Sn=n^2
sn=n是如何推理得到的?
答案
√Sn-√S(n-1)=1
设√Sn=Cn,上式可化为Cn-C(n-1)=1,
这说明数列{Cn}是一个等差数列,公差为1,首项为C1=S1=1,
所以Cn=C1+(n-1)×1=1+(n-1)×1=n,
即√Sn=n,所以Sn=n^2.
举一反三
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