求解微分方程y'+y=cosx+1

题目

求解微分方程y'+y=cosx+1

答案

先求解线性齐次方程y'＋y＝0：特征方程是r^2＋1＝0,特征根是±i,所以齐次方程有两个线性无关的特解sinx,cosx,所以通解是y＝C1×sinx＋C2×cosx.
再求非齐次方程y'＋y＝cosx＋1的一个特
设y'＋y＝cosx的一个特解Y1＝x(Asinx＋Bcosx),代入方程求得A＝1/2,B＝0,所以Y1＝1/2×xsinx
观察得y'＋y＝1有一特解Y2＝1
所以,非齐次方程y'＋y＝cosx＋1有一特解Y＝Y1＋Y2＝1＋1/2×xsinx
所以,微分方程y'＋y＝cosx＋1的通解是y＝1＋1/2×xsinx＋C1×sinx＋C2×cosx