已知向量a=(m,2^x),(m∈R),b=(2^2x,1),函数g(x)=a*b,函数f(x)是R上的偶函数,且当x∈(-∞,0]时,

题目

已知向量a=(m,2^x),(m∈R),b=(2^2x,1),函数g(x)=a*b,函数f(x)是R上的偶函数,且当x∈(-∞,0]时,
f(x)=g(x).
(1)当x∈(0,+∞)时,求函数f(x)的解析式
(2)求函数f(x)的最大值
(3)若f(x)≤2对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

答案

1
g(x)=a dot b=(m,2^x) dot (2^(2x),1)=m*2^(2x)+2^x
由题意：x∈(-∞,0]时,f(x)=g(x)=m*2^(2x)+2^x
因f(x)是偶函数,当x>0时,-x∈(-inf,0),故：f(-x)=m*2^(-2x)+2^(-x)=f(x)
所以：当x∈(-inf,0]时,f(x)=m*2^(2x)+2^x；当∈(0,inf),f(x)=m*2^(-2x)+2^(-x)
2
当m=0时,当x∈(-inf,0]时,f(x)=2^x；当∈(0,inf),f(x)=2^(-x)
由于函数是偶函数,所以只需考虑x≤0的部分就可以了.
当x=0时,f(x)取得最大值：f(0)=1

令t=2^x,当x∈(-inf,0]时,t∈(0,1],此时：f(t)=mt^2+t=m(t+1/(2m))^2-1/(4m)

当m<0时,f(t)的图像开口向下,对称轴：x=-1/(2m)
当-1/(2m)≥1,即：-1/2≤m<0时,f(t)在(0,1]上是增函数,当t=1,即x=0时
f(t)取得最大值：fmax=m+1
当-1/(2m)<1,即：m<-1/2时,在(0,1]上,当t=-1/(2m),即：x=-(1+log2(-m))时
函数取得最大值：-1/(4m)

当m>0时,f(t)的图像开口向上,对称轴：x=-1/(2m)
此时,函数的对称轴<0,f(t)在(0,1]上是增函数,当t=1,即x=0时
f(t)取得最大值：fmax=m+1

所以：当m≥-1/2时,当x=0时,函数取得最大值：m+1
当m<-1/2时,当x=-(1+log2(-m))或x=1+log2(-m)时,函数取得最大值：-1/(4m)
3
根据2的推导,当m≥-1/2时,函数的最大值在x=0时取得,此时要满足题意,须：
m+1≤2,即：-1/2≤m≤1
当m<-1/2时,此时函数的最大值在2个x值处均能取得,都是-1/(4m),此时要满足题意,须：
-1/(4m)≤2,即：m≤-1/8,此时,函数值均≤2
所以：当m≤1时,满足f(x)≤2的条件