已知三角形ABC中,O点满足OA^2+BC^2=OB^2+AC^2=OC^2+BA^2,全是向量,

题目

已知三角形ABC中,O点满足OA^2+BC^2=OB^2+AC^2=OC^2+BA^2,全是向量,
求O是三角形什么心?

答案

垂心
(向量)OA^2+BC^2=OB^2+CA^2
OA^2-OB^2=CA^2-BC^2
(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)
(OA+OB)*BA=BA(CA-BC)
BA(OA+OB-CA+BC)=0
BA(2OC)=0
即(BA)(OC)=0
因为BA、OC不为0
所以只有cosa=0
a=90度
即OC垂直BA
同理OA垂直BC
OB垂直AC
所以O为垂心