一张大饼,切1刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成7块,……问切10刀最多切成多少块?

题目

一张大饼,切1刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成7块,……问切10刀最多切成多少块?

答案

2条线时有1个交点可以分成4块,没有交点则只能分成3块
3条线时有最后一条线把图案分成2部分:1部分有前2条线的交点,1部分则没有交点.
有交点的那部分4块,没交点的那部分3块.
假设切到第n刀时,最多可以切An块.
那么第n+1刀时,把饼切成2个部分,1部分含有前n刀的所有交点,这部分有An块.
另外一部分有n条线,互相之间没有交点,这部分有n+1块.
那么A(n+1)=An+n+1,A(n+1)-An=n+1
A1=2
A2-A1=1+1=2
A3-A2=2+1=3
A4-A3=4
.
An-A(n-1)=n
上式全部相加
An=2+2+3+4+...+n=1+(1+2+3+4+...+n)=1+n(n+1)/2
A10=1+10*11/2=56
至于为什么这样切才能得到最多的块数.这取决于每次的下一刀和前面的线交点数要最多.
用反证法很容易证明