△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2
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△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π2
题目
△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证
B<
π
2
答案
证明:方法一:已知
1
a
+
1
c
=
2
b
.
得
b=
2ac
a+c
,
a
2
+
c
2
−
b
2
=
a
2
+
c
2
−(
2ac
a+c
)
2
≥2ac−
4
a
2
c
2
(a+c)
2
=
2ac(1−
2ac
(a+c)
2
)≥2ac(1−
2ac
4ac
)>0
.
即cosB=
a
2
+
c
2
−
b
2
2ac
>0
故
B<
π
2
法2:反证法:假设
B≥
π
2
.
则有b>a>0,b>c>0.
则
1
b
<
1
a
,
1
b
<
1
c
可得
2
b
<
1
a
+
1
c
与已知矛盾,
假设不成立,原命题正确.
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