设函数f(X)是奇函数,且在R上为增函数,若0≤x≤∏/2时,f(msinx)+f(1-m)>0恒成立,求m的取值范围

题目

设函数f(X)是奇函数,且在R上为增函数,若0≤x≤∏/2时,f(msinx)+f(1-m)>0恒成立,求m的取值范围

答案

化简f(msinx)+f(1-m)>0得到：
f(msinx)＞-f(1-m),
因为函数f(X)是奇函数,所以：
-f(1-m)=f（m-1）
于是,有：
f(msinx)＞f（m-1）；
而f(X)在R上为增函数,所以：
msinx＞m-1,在0≤x≤∏/2时恒成立!
0≤x≤∏/2时,0≤sinx≤1,
由msinx＞m-1知：
1＞（1-sinx）m,
当sinx=1时,此式恒成立!
当0≤sinx＜1时,m＜1/(1-sinx),
此时,1/(1-sinx)的最小值为1/1=1（在sinx=0时取得）
所以,m的取值范围为：m＜1