设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为_.
题目
设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为______.
答案
法一:∵g(x)为R上周期为1的函数,则g(x)=g(x+1)
又∵函数f(x)=x+g(x)在[3,4]的值域是[-2,5]
令x+6=t,当x∈[3,4]时,t=x+6∈[9,10]
此时,f(t)=t+g(t)=(x+6)+g(x+6)=(x+6)+g(x)=[x+g(x)]+6
所以,在t∈[9,10]时,f(t)∈[4,11]…(1)
同理,令x-13=t,在当x∈[3,4]时,t=x-13∈[-10,-9]
此时,f(t)=t+g(t)=(x-13)+g(x-13)=(x-13)+g(x)=[x+g(x)]-13
所以,当t∈[-10,-9]时,f(t)∈[-15,-8]…(2)
…
由(1)(2)…得到,f(x)在[-10,10]上的值域为[-15,11]
故答案为:[-15,11]
法二:由题意f(x)-x=g(x) 在R上成立
故 f(x+1)-(x+1)=g(x+1)
所以f(x+1)-f(x)=1
由此知自变量增大1,函数值也增大1
故f(x)在[-10,10]上的值域为[-15,11]
故答案为:[-15,11]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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