过(2,4)作直线与坐标轴正半轴交于A、B O为原点 求OA+OB+AB的最小值 求原因

题目

过(2,4)作直线与坐标轴正半轴交于A、B O为原点 求OA+OB+AB的最小值 求原因

答案

设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0
设角OAB=α,α∈(0,π/2),则：
OA=a=2+4/tanα,
OB=b=4+2tanα,
AB=4/sinα+2/cosα,
周长=OA+AB+BO=6+4/tanα+2tanα+4/sinα+2/cosα
=6+4(1-(tan(α/2))^2)/(2 tan(α/2))+(4tan(α/2))/ (1-(tan(α/2))^2)
+4(1+(tan(α/2))^2)/(2 tan(α/2))+2(1+(tan(α/2))^2)/ (1-(tan(α/2))^2)
=6+4/ tan(α/2)+2(1+2tan(α/2)+ (tan(α/2))^2)/ (1-(tan(α/2))^2)
=6+4/ tan(α/2)+2(1+ tan(α/2))/ (1- tan(α/2))
=6+(2(tan(α/2))^2-2tan(α/2)+4)/(tan(α/2)-(tan(α/2))^2)
令tan(α/2)=x,x∈(0,1),则：
周长=6+( 2x^2-2x+4)/(x-x^2)
=6-2+4/(x-x^2)
=4+4/(x-x^2),
而x-x^2=-(x-1/2)^2+1/4≤1/4,
所以4+4/(x-x^2)≥4+16=20,
当且仅当x=1/2即tan(α/2)= 1/2时,周长取最小值20.
此时tanα=4/3,sina=4/5,cosa=3/5.
A(5,0),B(0,20/3).