为什么证明正定矩阵要先证明对称

题目

为什么证明正定矩阵要先证明对称
既然正定矩阵A=P乘P的转制,它当然是对称阵啊

答案

如果你证明了A=PP^T且P可逆, 那么A当然是对称且正定的
但是如果你证明了对任何非零实向量x, 都有x^TAx>0, 那么A是正定的(这是一般非对称正定阵的定义), 但未必对称, 比如
A=
1 1
-1 1
就是一个非对称的正定阵
你所学的理论体系里可能没有定义过非对称的正定阵, 但至少来说仅用x^TAx>0不足以推出对称性, 所以如果你想证明某个矩阵是对称正定的本质上讲就得对这两条性质分别验证