如图，抛物线y=ax2-2x+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过P作PD∥AC，交BC于D，连结PC，当△PC

题目

如图，抛物线y=ax²-2x+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过P作PD∥AC，交BC于D，连结PC，当△PCD面积最大时．
①求点P的坐标；
②在直线AC上是否存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵抛物线y=ax²-2x+3过B（1，0），
∴0=a-2+3，
∴a=-1，
即抛物线的解析式为y=-x²-2x+3； …（3分）
（2）①过D作DE⊥x轴于E，
设P（m，0），则PB=1-m，
由（1）可知C（0，3）A（-3，0），

∴OC=3 AB=4，
∵PD∥AC，
∴△PDB∽△ACB，
∴

，
即

1−m

，
∴DE=

（1-m），…（5分）
∴S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD
=

PB•OC-

PB•DE，
=

（1-m）•3-

（1-m）•

（1-m），
=-

（m+1）²+

，
∵-3≤m≤1，
∴当m=-1时 S_△PCD有最大值

，
∴P（-1，0）；…（8分）
②在直线AC上是存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形，理由如下：
法一：∵P（-1，0）、B（1，0），
∴PB=2，OP=OB，
∴CP=CB，
当QP=QB时，∴Q与C重合即Q（0，3）…（9分）
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰三角形，
∵AB=4∴点B到直线AC的距离为AB•sin45°=2

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