什么是常微分方程?偏微分方程?举个例子
题目
什么是常微分方程?偏微分方程?举个例子
答案
凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.定义式如下: F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0 定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解. 一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族. 如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.
常微分方程
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点. 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究. 后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来. 一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的. 大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.
常微分方程实例
下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). (1) y= kx, k 为常数; (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0; (3) mv(t) = mg - kv(t);
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程.
偏微分方程分类比较繁琐,解法多样.建议找一本偏微分方程的教材来看看.会对你有很大帮助
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 一辆汽车的轮胎直径是0.8,如果车轮每分钟转500圈,四分钟后,汽车前进了多少米?
- 若随机变量X的可能值充满区间( ),那么sinx可以作为一个随机变量的概率密度.
- 作文成长的足迹或成长的烦恼
- 在梯形abcd中 ab平行cd ad等于bc bd等于dc bd垂直ac.求证cm=二分之一(ab
- 牛牛在计算一道减法题时,把被减数十分位上的5写成了9,把减数百分位上的9写成了6,这样算得的结果是1.68.正确的结果应该是多少?
- 将13克金属锌放入200ml的盐酸中恰好完全反应,则反应生成的h2的物质的量是多少
- 若一个正方形的面积恰好等于一个长方形的面积,长方形长为80厘米宽为40厘米,求正方形边长.
- 辨析题:马克思主义具有与时俱进的理论品质
- 在一条长10cm的线段上任意点4个点,至少有2个点之间的距离不会小于2cm,为设么
- 云层是对辐射是起反射作用还是``也可以吸收辐射``