若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=(an-1+an-2)/2,求1 c的值 2 数列{nan}的前n项和sn

题目

若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=(an-1+an-2)/2,求1 c的值 2 数列{nan}的前n项和sn
若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=(an-1+an-2)/2,
求1 c的值
2 数列{nan}的前n项和sn

答案

(1)
an=c^(n-1),则a(n-1)=c^(n-2),a(n-2)=c^(n-3)
c^(n-1)=[c^(n-2)+c^(n-3)]/2,
因为c^(n-3)不等于0,所以化简为c^2=(c+1)/2,解得c=-1/2或1
(2)
设bn=n*an
当c=1时:
bn=n,则Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
当c=-1/2时:
bn=n*(-1/2)^(n-1)
Sn =1+2*(-1/2)+3*(-1/2)^2+4*(-1/2)^3+...+n*(-1/2)^(n-1)----(1)
(-1/2)Sn= 1*(-1/2)+2*(-1/2)^2+4*(-1/2)^3+...+(n-1)*(-1/2)^(n-1)+n*(-1/2)^n-----(2)
(1)-(2),得
(3/2)Sn=1+(-1/2)+(-1/2)^2+(-1/2)^3+...+(-1/2)^(n-1)-n*(-1/2)^n
=[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]-n*(-1/2)^n=2/3-[n+(2/3)]/(-2)^n
即Sn=4/9-[2n/3+(4/9)]/(-2)^n
bn=n*(-1/2)^(n-1)为等比和等差数列相乘的形式,就用"差项法",(Sn-q*Sn)得到一个等比数列和余项,便可以解出答案