已知抛物线y=4x2-4（m+2）x+m2+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

题目

已知抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若-5＜m＜1，试求三角形ABC面积S的最大值．

答案

抛物线y=4x²-4（m+2）x+m²+4m-5所对应的方程为4x²-4（m+2）x+m²+4m-5=0，
△=[-4（m+2）]²-16（m²+4m-5）=144＞0，
设抛物线与x轴的交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），
则根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=m+2，x₁x₂=

1

4

（m²+4m-5），
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（m+2）²-（m²+4m-5）=9，
∴|x₁-x₂|=3．
抛物线与y轴的交点坐标为 （0，m²+4m-5）
∵-5＜m＜1，
∴m²+4m-5=（m+5）（m-1）＜0，
∴三角形ABC的高是（-m²-4m+5），
∴S_△ABC=

1

2

（-m²-4m+5）×3=-

3

2

（m+2）²+

27

2

∴m=-2时，函数有最大值，最大面积是

27

2

．