等差数列的证明

题目

等差数列的证明
已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn-1(n>=2).
（1）求证数列{1/Sn}为等差数列
（2）求数列{an}的通项公式

答案

Sn-S(n-1)=2Sn^2/2Sn-1
2Sn^2-Sn-2SnS(n-1)+S(n-1)=2Sn^2
-Sn-2SnS(n-1)+S(n-1)=0
同除以SnS(n-1)
-1/S(n-1)-2+1/Sn=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
数列{1/Sn}为首项为1公差为2的等差数列
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1 Sn=1/(2n-1)
1/S(n-1)=1+2(n-2)=2n-3 S(n-1)=1/(2n-3)
an=1/(2n-1)-1/(2n-3)