试证明在圆内接四边形ABCD中,AC*BD=AD*BC+AB*CD

题目

试证明在圆内接四边形ABCD中,AC*BD=AD*BC+AB*CD

答案

在对角线BD上取一点E,使〈EAB=〈DAC,连结AE,

∵〈ABD=〈ACD,（同弧圆周角相等）,

〈EAB=〈CAD,

∴△AEB∽△ADC,

∴AB/AC=BE/CD,

AB*CD=AC*BE,（1）

〈ADE=〈ACB,（同弧圆周角相等）,

∵〈AEB=〈ADC,（相似△对应角相等）,

〈ADC+〈ABC=180°,（圆内接四边形对角互补）,

〈AED+〈AEB=180°,

∴〈AED=〈ABC,（等量代换）,

∴ △ADE∽△ACB,

∴AD/AC=DE/BC,

∴AD*BC=AC*DE,（2）

（1）+（2）式,

AB*CD+AD*BC=AC*BE+AC*DE=AC*（BE+DE）=AC*BD,

∴AC*BD=AD*BC+AB*CD.