已知各项均为正数的数列{An}的前n项和Sn满足S1>1,且
题目
已知各项均为正数的数列{An}的前n项和Sn满足S1>1,且
6Sn=(1+An)(2+An),n∈N*
1) 求{An}的通项公式
2) 设数列{Bn}满足An(-1+2^(Bn))=1,并记Tn为{bn}的前n项和,求证:3Tn+1>log(3+An)/log2
注:第2问的‘3Tn+1>log(3+An)/log2’改为‘1+3Tn>log(3+An)/log2’防止误解~
答案
1)
6Sn=An^2+3An+2
因为S1=A1
所以6A1=A1^2+3A1+2
A1^2-3A1+2=0
(A1-1)(A1-2)=0
因为A1=S1>1
所以A1=2
因为An=Sn-S(n-1) 注S(n-1)指前n-1项的和
An=(An^2+3An+2)/6-(A(n-1)^2+3A(n-1)+2)/6
所以6An=(An^2-A(n-1)^2+3(An-A(n-1))
An^2-A(n-1)^2-3An-3A(n-1)=0
(An+A(n-1))*(An-A(n-1))-3(An+A(n-1))=0
(An+A(n-1))*(An-A(n-1)-3)=0
因为{An}各项均为正数,所以An+A(n-1)>0
所以An-A(n-1)-3=0
即 An-A(n-1)=3
所以{An}是公差为3的等差数列
所以An=A1+(n-1)*3=2+3n-3
即 An=3n-1
2)
An(-1+2^(Bn))=1
即 2^(Bn)=1/An+1
Bn=log(1/An+1)/log2
因为An=3n-1
所以Bn=log(3n/(3n-1))/log2
Tn=B1+B2+……+Bn
=log(3/2)/log2+log(6/5)/log2+……+log(3n/(3n-1))/log2
=log[(3/2)*(6/5)*(9/8)*……*(3n/(3n-1)]/log2
因为算术平均值>=几何平均值>=调和平均值
所以(3/2)*(6/5)*(9/8)*……*(3n/(3n-1)
>={n/[(2/3)+(5/6)+……+(3n-1)/3n]}^n
={n/[n-(1/3+1/6+1/9+……+1/3n]}^n
>={n/[n-n*开n次根号下[(1/3)*(1/6)*(1/9)*……*(1/3n)]]}^n
={n/[n-n*开n次根号下[((1/3)^n)*(1/n!)]]}^n
={n/[n-(n/3)*开n次根号下(1/n!)]}^n
={1/[(2/3)*开n次根号下(1/n!)]}^n
={(3/2)*开n次根号下(n!)]}^n
=((3/2)^n)*(n!)
所以Tn>=log[((3/2)^n)*(n!)]/log2
所以1+3Tn>=log2/log2+3log[((3/2)^n)*(n!)]
=log2*((3/2)^3n)*[(n!)^3]/log2
而log(3+An)/log2=log(3n+2)/log2
而2*((3/2)^3n)*[(n!)^3]>(3n+2)
得证
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 王师傅3小时加工零件14个,李师傅4小时加工零件19个.王师傅和李师傅每小时加工零件个数的简数比是
- 化简先去括号在化简8x+2y+2(5x-2y)
- 软体动物与环节动物相比,身体结构有哪些不同?
- 半径为r的薄圆盘,均匀带电q,令此圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴以角速度w匀速转动,求磁感应强度大小?
- 物理电学欧姆定律(看问题补充)
- 他们说钩股定理是A2+B2=C2 那么钩3股4弦是怎么回事
- 针对所给的情景选择你应该说的话
- 哪位同学英语好的解释一下英语no further discussions______,the meeting was brought to an end.为什么要
- 氨气通入溴水离子方程式 .
- 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=( )
热门考点
- 我是初二的学生,我发现自己总是没有新颖的选材,不怎么会写作文.求教~
- 姐妹俩养兔100只,姐姐养的1/3比妹妹养的1/10多16只,求姐妹俩各养兔多少只?(列式解答)
- 正方体的个数和露在外面的面数有什么关系.例:1个正方体,露在外面5面.2个正方体,露在外面9面
- personal a.求中文
- 等厚干涉试验 牛顿环实验
- 在两个同心圆里,如果外圆的周长比内圆的周长大1cm,那么外圆半径比内圆半径大多少?
- 有一桶油,第一次取出它的40%,第二次比第一次少取出10千克,还剩15千克,求原来这桶油重多少千克?不用方程
- 一元一次不等式的整数解怎么求
- 如果sinA=- 3/5,and π < A < 3π/2 ,求 tanA=?
- 请用三个形容词形容自己