已知函数f（x）=1/3x3-1/2x2+cx+d在x=2处取得极值． （1）求c的值； （2）当x＜0时，f（x）＜1/6d2+2d恒成立，求d的取值范围．

题目

已知函数f（x）=

1

3

答案

（1）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+d，
（2）∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值

7

6

+d，
∵x＜0时，f（x）＜

1

6

d2+2d恒成立，
∴

7

6

+d＜

1

6

d2+2d，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．