已知等比数列{an}的公比为正数,且a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an•bn}的前n项和Sn.
题目
已知等比数列{an}的公比为正数,且a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an•bn}的前n项和Sn.
答案
(1)设数列{a
n}的公比为q,且q>0.
由a
1=2,a
3=a
2+4得2q
2=2q+4,化为q
2-q-2=0,
又q>0,解得q=2.
∴数列{a
n}的通项公式
an=2×2n−1=2n.
(2)∵{b
n}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴b
n=1+(n-1)×2=2n-1.
∴a
n•b
n=(2n-1)×2
n.
∴
Sn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2
n-1+(2n-1)×2
n,
∴
2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2
n+(2n-1)×2
n+1.
两式相减可得:
−Sn=2+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)×2
n+1=
2+2×−(2n−1)×2n+1=(3-2n)×2
n+1-6,
∴
Sn=(2n−3)•2n+1+6.
举一反三
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