已知等比数列{an}的公比为正数，且a1=2，a3=a2+4． （1）求{an}的通项公式； （2）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an•bn}的前n项和Sn．

题目

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₁=2，a₃=a₂+4．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）设数列{a_n}的公比为q，且q＞0．
由a₁=2，a₃=a₂+4得2q²=2q+4，化为q²-q-2=0，
又q＞0，解得q=2．
∴数列{a_n}的通项公式an＝2×2n−1＝2n．
（2）∵{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴a_n•b_n=（2n-1）×2ⁿ．
∴Sn＝1×21+3×22+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴2Sn＝1×22+3×23+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
两式相减可得：−Sn＝2+2×(22+23+…+2n)-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

4(2n−1−1)

2−1

−(2n−1)×2n+1=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn＝(2n−3)•2n+1+6．