已知实数x,y,z满足x=6-y,z2=xy-9,求证:x=y.
题目
已知实数x,y,z满足x=6-y,z2=xy-9,求证:x=y.
答案
∵实数x,y,z满足x=6-y,z2=xy-9,
x+y=6,xy=z2+9,
可以设两根为x、y的一元二次方程为a2-6a+z2+9=0
△=62-4(z2+9)=36-4z2-36=-4z2,
因为方程有两个根,则可得-4z2≥0,
故可得z只有取零,即z2=0,△=0,
方程有两个相等的实根,即x=y.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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