△ABC是等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,EF分别为AB、AC上的点,∠EDF=60°.求证：ED=BE+CF

题目

△ABC是等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,EF分别为AB、AC上的点,∠EDF=60°.求证：ED=BE+CF

答案

证明：【此题是不是缺一条件DE=DF?】
在AB的延长线上截取BG=CF,连接DG
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60º
∵BD=CD,∠BDC=120º
∴∠DBC=∠DCB=30º
∴∠ABD=∠ACD=90º
∵BD=CD,∠GBD=∠FCD=90º,BG=CF,
∴⊿CBD≌⊿FCD（SAS）
∴DG=DF,∠BDG=∠CDF
∵∠EDF=60º
∴∠BDE+∠CDF=60º
∴∠EDG=∠BDE+∠BDG=60º
【分析：若ED=BE+CF,即ED=BE+BG=EG
∴⊿DEG是等腰三角形
∵∠EDG=60º
∴⊿DEG是等边三角形
∴DG=BE即DF=DE】
【∴当DE=DF时 ,DG=DE,∠EDC=60º
∴⊿EDG是等边三角形
∴ED=EG=BE+BG=BE+CF