如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④

题目

如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论是_________

答案

【正确的结论】是：①；②；③
【解】：
对折可得：DE=EF ,AF=AD ,AF⊥EF ,△ADE≌△AFE
【1】：
在Rt△ABG与Rt△AFG中,
AB=AF ,AG=AG
所以,Rt△ABG≌Rt△AFG
①正确.
【2】：
Rt△ABG≌Rt△AFG
可得：BG=FG ,∠AGB=∠AGF
设BG=x
则,CG=BC-BG = 6-x
GE=GF+EF=BG+DE=x+2
在Rt△ECG中,
有CG^2+CE^2=EG^2
CG=6-x ,CE=4 ,EG=x+2
可得：(6-x)^2 + 4^2 = (x+2)^2
解得：x=3
所以,BG=GF=CG=3
结论②正确.
【3】：
因为,CG=GF
所以,∠CFG = ∠FCG
因为,∠BGF=∠CFG+∠FCG（三角形的外角等于不相邻的两个内角和）
又∠BGF=∠AGB+∠AGF
可得：∠CFG+∠FCG = ∠AGB+∠AGF
因为,∠AGB=∠AGF,∠CFG = ∠FCG
所以,2∠AGB=2∠FCG
即,∠AGB=∠FCG
所以,AG//CF
结论③正确.
【4】：
△CFG和△ECEG中,分别把FG和GE看作底边,
则,这两个三角形的高相同.
那么,S△CFG ：S△CEG = FG ：GE = 3 ：5
S△ = 1/2 * CG * CE
=1/2 * 3 * 4
=6
所以,S△CFG = 3/5 * S△CEG
=3/5 * 6
18/5
结论④错误.
【综】：
正确的结论是①,②,③