已知三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设向量m＝(c−2b，a)，n＝(cosA，cosC)，且m⊥n． （1）求角A的大小； （2）若AB•AC＝4，求边长a的最小值．

题目

已知三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设向量

m

＝(c−2b，a)，

n

＝(cosA，cosC)，且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

＝4，求边长a的最小值．

答案

（1）由m⊥n得 m•n＝(c−2b)cosA+acosC＝0⇒2sinBcosA＝sinB，可得cosA＝12⇒A＝600．-------（3分）（2）由AB•AC＝4求得bccosA=4，求得bc=8，可得a2=b2+c2-2bccosA≥2bc-bc=bc=8，当且仅当b＝c＝22时取等号...

（1）由题意可得

m

•

n

=0，求得cosA得值，即可得到角A的大小．
（2）由

AB

•

AC

＝4求得bccosA=4，求得bc=8，由余弦定理，再利用基本不等式求得边长a的最小值．

本题考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．