请教一道三角函数积分问题

题目

请教一道三角函数积分问题
在0到90度区间,对“sint的4次方减去sint的6次方”积分
请问怎么思考这道题,解法是什么?
不知道描述的清楚不,积分项是两个正弦函数高次幂的差
拆成积分的差，用高次幂积分表这个方法我会。
应该还有拆项重新组合的方法，用常用积分公式的，就是好多年不做，忘记方法了。

答案

1,由于sint是一个周期函数,其m次方的积分和m－1次方积分可能会有某种规律或关系.运用了分部积分的方法
可设Jm＝∫（在0到90度区间）sint~mdt
＝∫（在0到90度区间）sint~m-1d（－cost）
＝－sint~(m-1)cost|(上限90下限0）
+(m-1)∫（在0到90度区间）cost~2sint~(m-2)dt
=(m-1)∫（在0到90度区间）cost~2sint~(m-2)dt
=(m-1)∫（在0到90度区间）sint~(m-2)(1-sint~2)dt
=(m-1)∫（在0到90度区间）sint~(m-2)dt-
(m-1)∫（在0到90度区间）sint~mdt
观察这两项,分别为（m-1)Jm-2 (m-1)Jm
所以Jm＝（m-1)Jm-2 -(m-1)Jm
可得Jm＝(m-1)Jm-2/m
先求得J0＝∏/2,J1＝1
最后可得J2n＝（∏/2）（2n-1)!/(2n)!①
J2n+1＝（2n)!/(2n+1)!②
在这里K!=K(K-2)(K-4).
回到原题,由于m分别等于4,6.可用等式①
代入数据得原式＝∏/32
2,另一种方法是应用三角函数知识,将三角函数化为阶比较低的常见函数,主要是利用倍角公式.这种方法比较常用.
sint~4-sint~6=sint~4(1-sint~2)
=(sint~2)~2 ×(cost~2)
=([1-cos2t)/2]~2×(1+cos2t)/2
＝（1/8）（1-cos2t）sin2t~2
=(1/8)sin2t~2 - (1/8)cos2tsin2t~2
对左边这项,将sin2t~2在用次2倍甲公式弄成一次方,然后换元即可得解,要注意换元后积分上下限的变化
对右边的,注意到2cos2t＝dsin2t,然后可设sin2t＝w,换元,变成对二次函数的积分就可得也,也要主要上下限得变化.
不知道清楚不?