已知正项数列(An)中,对于一切的n属于正整数,均有An的平方小与等于An-A(n+1)成立,探究An与1/n的大小

题目

已知正项数列(An)中,对于一切的n属于正整数,均有An的平方小与等于An-A(n+1)成立,探究An与1/n的大小

答案

An^2≤An-A(n+1)因An-A(n+1)≥An^2＞0,所以An单调递减,(An-1/2)^2≤1/4-A(n+1)A(n+1)≤1/4当A(n+1)取最大值1/4时,An=1/2＞1/4所以只有A2取大值1/4时,A1=1/2＜1/1(A2-1/2)^2≤1/4-A3A3≤3/16＜1/4＜1/3A3-1/2≤-5/162...