求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解.
题目
求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解.
答案
方程y″-5y′+6y=xe
2x的特征方程为:
λ
2-5λ+6=0,
特征根为:λ
1=2,λ
2=3.
因为2是方程的单重特征根,
故方程y″-5y′+6y=xe
2x的特解形式为:
y*=x(Ax+B)e
2x.
代入方程整理可得,-2Axe
2x+(2A-B)e
2x=xe
2x,
因此,
⇒
A=−,B=-1.
故方程的通解为:
y=C1e2x+C2e3x−(x+2)ex.
求解方程的特征值与特解,利用线性微分方程解的结构定理即可得到通解的表达式.
线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数非齐次线性微分方程求解.
本题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解,解题中利用了线性微分方程解的结构定理,是一个基础型题目,难度系数不大.二阶常系数微分方程的求解是一个常考知识点,需要熟记非齐次问题的特解形式并熟练掌握其求解方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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