已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设an=f（n），（n∈N*） （1）求Tn=a1+a2+a3+…+an． （2）设bn=2n，求数列{anbn}的

题目

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（n∈N^*）
（1）求T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）设b_n=2ⁿ，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

答案

（1）设f（x）=ax+b，（a≠0），
由f（8）=15f（2），f（5），f（14）成等比数列得8a+b=15①，
f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）得到：3a²+6ab=0，
∵a≠0，
∴a=-2b②，
由①②得a=2，b=-1，
∴f（x）=2x-1，
∴a_n=2n-1，显然数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列
∴

n

i＝1

ai═a1+a2+…+an＝

n(1+2n−1)

2

＝n2．
（2）∵a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ∴s_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2s_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
-s_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6