一道有关导数的证明题,

题目

一道有关导数的证明题,
对于函数f(x),若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,是否f'(x)必存在?

答案

不一定存在的,要紧扣导数的定义啊,若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/(△x),则f'(x)必存在
但是lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,只能说明f'(x+△x)存在
但反过来,若f'(x)存在,则lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在
因为 lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)+f(x)-f(x-△x)]/(△x)
=2f'(x)