已知f(x)=(1+x)∧m+(1+x)∧n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为19,求f(x)展开

题目

已知f(x)=(1+x)∧m+(1+x)∧n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为19,求f(x)展开

答案

（1）x的系数为19 =>m+m=19 x^2的系数:m(m-1)/2+n(n-1)/2=(m^2+n^2-m-n)/2==(m^2+n^2-19)/2 m^2+n^2=m^2+(19-m)^2=2m^2-38m+361 取最小值,又m,n∈Z+,所以m=9或10,此时n=10或9 m^2+n^2的最小值为181.则x^2的系数的最小值为81.当m=18时(m最大只能取18),2m^2-38m+361取最大值,为325.则此时n=1.（2）x2的系数取最小值时,m=9,n=10或者m=10,n=9.当m=9,n=10 x7系数,C(上面7,下面9)+C(上面7,下面10)=（9*8）/2+（10*9*8）/(3*2*1)=156; m=10,n=9时,同理的x7的系数为156