已知二次函数y=x^2-（m^2+4）x-2m^2-12

题目

已知二次函数y=x^2-（m^2+4）x-2m^2-12
求证不论m取什么实数时,抛物线都过一定点,并求出定点坐标
m取什么实数时,抛物线与x轴两个交点的距离最小?最小值是多少

答案

(1)因为y=x^2-（m^2+4）x-2m^2-12
y=x^2-4x-12-m^2(x+2)
抛物线都过一定点,即与m的取值无关,故x+2=0,所以：x=-2,此时y=0
故定点坐标为（-2,0)
(2)设二次函数y=x^2-（m^2+4）x-2m^2-12 的图像与x轴的交点坐标为（x1,0)和（x2,0),且：x2＞x1,则抛物线与x轴两个交点的距离为x2-x1
又x1、x2可以看作x^2-（m^2+4）x-2m^2-12 ＝0的两个实数根,即（x-m^2-6)（x+2)=0
即：x1=-2 x2=m^2+6
故：x2-x1=m^2+8 故抛物线与x轴两个交点的距离最小值为8.此时m=0