求三阶方阵A＝−1223−1122−1的特征值及特征向量，并判断A是否与对角形矩阵相似？

题目

求三阶方阵A＝

−1 2 2 3 −1 1 2 2 −1

的特征值及特征向量，并判断A是否与对角形矩阵相似？

答案

由于A的特征多项式为
|λE−A|＝

.

λ+1 −2 −2 −3 λ+1 −1 −2 −2 λ+1

.

=（λ+3）²（λ-3）=0
∴特征值为λ=3，λ=-3（2重）
又当λ=3时，齐次线性方程组（λE-A）x=0的基础解系为：α1＝(5，7，1)T
当λ=-3时，齐次线性方程组（λE-A）x=0的基础解系为：α2＝(1，−2，1)T
∴A只有两个线性无关的特征向量
故A不能与对角矩阵相似．

首先，将A的特征多项式求出来；然后，得到特征值，并求解相应的特征向量；最后，根据线性无关的特征向量数，来判断是否与对角矩阵相似．

本题考点：矩阵可相似对角化的充分必要条件．

考点点评：此题考查矩阵特征值和特征向量的求法以及判断矩阵相似对角化的方法，是基础知识点．