求y=ax^2+2x+1在x∈[-1,1]的值域 a∈R

题目

求y=ax^2+2x+1在x∈[-1,1]的值域 a∈R

答案

本题需考虑函数的图像
当 a = 0　 时 即 y = 2x + 1 为直线
其值域 为 [ -1 ,3 ]
当 a ＞ 1 时 y=ax^2+2x+1 为开口向上
对称轴在 (-1,0) 之间的函数
即 y = a(x + 1/a)^2 + 1 - 1/a
其值域为 [ 1 -1/a ,a + 3 ]
当 1 ≥ a ＞ 0 时 y=ax^2+2x+1 为开口向上
对称轴在 (-∞,-1] 之间的函数
即 y = a(x + 1/a)^2 + 1 - 1/a
其值域为 [ a -1 ,a + 3 ]
当 -1 ≤ a ＜ 0 时 y=ax^2+2x+1 为开口向下
对称轴在 [1,∞) 之间的函数
即 y = a(x + 1/a)^2 + 1 - 1/a
其值域为 [ a -1 ,a + 3 ]
当 -1 ＞ a 时 y=ax^2+2x+1 为开口向下
对称轴在 (0,1) 之间的函数
即 y = a(x + 1/a)^2 + 1 - 1/a
其值域为 [ a -1 ,1 - 1/a ]